Testirajmo Ghoulovo znanje matematike!

[mac]

S=v1*t1=v2*t2

Prosečna brzina je vp=2*S/(t1+t2) = 2*S/(S/v1 + S/v2)=2*v1*v2/(v1+v2)=68,57 km/h

[Tex Murphy]

S=v1*t1=v2*t2

Prosečna brzina je vp=2*S/(t1+t2) = 2*S/(S/v1 + S/v2)=2*v1*v2/(v1+v2)=68,57 km/h

Штреберу!

[Mica Milovanovic]

Ne laskaj mu. To bi čak i ja rešio da nisam čitao Popular Science...

[Truman]

Imam ionako kompleks od fizike i fizicara, jos mi samo ovo fali...

[Mica Milovanovic]

Nemaš čega da se plašiš - ovo je matematika...

[zakk]

evo ti za Mareta jedan sličan zadatak:

treba sa četiri prave linije da spoji sve tačke (stavići x umesto tačke, zbog vidljivosti)

x     x     x

x     x     x

x     x     x

ne znam kako će ispasti, ali spoljašnji x-evi čine kvadrat, i svaki x sa svoja susedna tri x čini manji kvadrat.

a da li je ok rešenje?

[mac]

Postoji i uslov da se ne diže olovka sa papira.

[M.M]

S=v1*t1=v2*t2

Prosečna brzina je vp=2*S/(t1+t2) = 2*S/(S/v1 + S/v2)=2*v1*v2/(v1+v2)=68,57 km/h

Odličan, pet (5) M.M

Znao da će mac ovo brzo rešiti. Trebalo je da ga zamolim da sačeka malo.

[zakk]

Postoji i uslov da se ne diže olovka sa papira.

bilo bi lepo da ga je neko napisao -_-

[Midoto]

Aj, junaci da vidim kakvo ste znanje poneli sa sobom osmogodišnje škole. Neki novi (genijalni) izdavač misli da je u redu da ovakav zadatak metne u zbirku osmog razreda.

Automobil ide iz tačke A u tačku B, kreće se brzinom 60 km/h. Iz tačke B vraća se u tačku A brzinom 80km/h. Koja je prosečna brzina kretanja automobila?

Ovo je gradivo fizike za 6. razred i čak ne spada u teže zadatke (a taj deo fizike je, zapravo, totalno matematički). Pogledaj na sajtu DFS napr. drugi zadatak sa republičkog takmičenja za šestake 2010. godine. Kada sam proveravala da li je tačno urađen taj zadatak, bila sam  uverena da postoji neki skriveni, lakši način, jer su mi se pojavljivale jednačine sa tri brzine i tri dela puta (nema, naravno). Ali neka deca su se odlično iskobeljala iz toga.

[Джон Рейнольдс]

Hvala i mac-u i Maretu! Proslijedio sam rješenja. A evo za Mareta nešto dosta teže (autor je Luis Kerol):

Ako jedna čaša limunade, 3 sendviča i 7 piškota staju 1 šiling i 2 penija, a jedna čaša limunade, 4 sendviča i 10 piškota 1 šiling i 5 penija, nađi koliko staju:
(a) jedna čaša limunade, sendvič i piškota;
(b) 2 čaše limunade, 3 sendviča i 5 piškota.

Napomena: 1 (tadašnji) šiling ima 12 penija!

Ево, потрајало је двадесетак минута. Коментар - глуп задатак, како нешто може да буде бесплатно? 



Ово је неуспели покушај, кад је све имало неку цену, али бројеви нису били цели. Као, заокружили би то трговци. 



Ово је, иначе, редак случај да је узео да решава поново. Обично се тврдоглаво држи свога, поготово ако мисли да је тачно. Међутим, овде је превагнуо здрав разум - како нешто може да кошта 0,3333333333, заокруживали трговци или не. Али одмах је видео, још кад је синоћ читао с екрана, да је 1С+3П=3.

[Ygg]

Svaka čast za Mareta! 

I mala napomena: ne moraju piškote biti džabe, može npr. da piškota košta pola penija (ukoliko uopšte postoji kovanica od pola penija), sendvič 1,5 i limunada 6 penija.

Aj, junaci da vidim kakvo ste znanje poneli sa sobom osmogodišnje škole. Neki novi (genijalni) izdavač misli da je u redu da ovakav zadatak metne u zbirku osmog razreda.

Automobil ide iz tačke A u tačku B, kreće se brzinom 60 km/h. Iz tačke B vraća se u tačku A brzinom 80km/h. Koja je prosečna brzina kretanja automobila?

Kao što Midoto reče, to je standardan zadatak i radi se kao primjer kad za srednju vrijednost nečega ne treba koristiti aritmetičku, već harmonijsku sredinu.

[Midoto]

Evo tog tadatka za 6. razred osnovne škole:

2.
Три друга, Милан, Ненад и Петар, крећу истовремено из Великог у Мало место. Милан иде аутомобилом и први стиже у Мало место и одмах се враћа назад. У повратку, на растојању t1 = 25km од Малог места, срео је Ненада на мотоциклу и на растојању t2 = 32km Петра на бициклу. Следећи у Мало место стиже Ненад, одмах се враћа и на t3 = 8km од Малог места среће Петра. Колико је растојање између Великог и Малог места?

Moj utisak je da su deca sve pametnija.

[Джон Рейнольдс]

Математичари, замолио мој Маре за помоћ. Играјући се са факторијалима, открио је следеће:

3! х 5! = 6!

6! х 7! = 10!

Већ сам писао да су му низови посебна забава и пошавши од претпоставке да "у математици ништа није случајно", покушао је да нађе неку законитост, то јест да следећи члан низа где производ факторијала даје неки трећи факторијал. Али узалуд, рвао се истина с неким километарским бројевима и на крају замолио вас за објашњење и помоћ.

[Tex Murphy]

Ја о овоме немам појма, али за рјешавање проблема (тј. налажење других сличних једнакости) може да се упрегне компјутер, који би се једноставним програмчићем натјерао да методом грубе силе проналази сличне кандидате.
Прије тога, ево још неких (очигледних) једнакости изведених по истом принципу као што је прва горе наведена:
4! х 23! = 24!
5! х 119! = 120!
итд.
Принцип је сљедећи: У једнакости a! x b! = c! претпоставимо да је b веће од а, а највеће ће наравно да буде c. Е сад, c! због особина факторијела увијек једнако производу b! и неког цијелог броја. На примјер, у првом примјеру, 6! = 6 х 5!. У другом - 10! = (10 х 9 х х 7!. Једнакости као што су ове које сам горе навео генеришу се врло једноставно тако што узмемо било који цијели број, прогласимо га за а, узмемо његов факторијел, прогласимо га за c и онда за b узмемо c-1. (У суштини, користимо једнакост n! = n x (n-1)!)
Неке интересантније једнакости би могле да се добију тако што кренемо од броја c, узмемо нпр. (лупам) 45 или нешто слично и резонујемо овако:
45! = 45 х 44 х 43 х 42 х ... х 3 х 2 х 1, а ово је једнако 45 х 44!. Ако је 45 једнако факторијелу неког броја, имамо тражену једнакост, тј. ако је то неки број а, онда ће бити 45! = а! х 44!.
Наравно, одмах се види да 45 није једнако факторијелу ниједног броја, па онда му придружимо сљедећи фактор:
45! = (45 х 44) х 43 х 42 х ... х 3 х 2 х 1 = 45 х 44 х 43!. Сад се питамо да ли је 45 х 44 једнако факторијелу неког броја а. Ако јесте, имамо једнакост 45! = а! х 43!, а ако није (а није) онда идемо на 45 х 44 х 43 и тако даље. Ако је уопште могуће наћи два броја таква да им производ факторијела даје 45! факторијел, овај једноставни алгоритам ће их пронаћи. Наравно ако компјутер не експлодира од преоптерећења.
Извињавам се ако сам штогод лупио, касно је, а спремам вјежбе

[Tex Murphy]

Е, него, сад ми паде на памет кад сам погледао Маретове једнакости:

6! х 7! = 10!, али 6! = 3! х 5!. Дакле, 10! = 3! х 5! х 7!. Пошто је 1=1!, можемо да напишемо и 1! х 3! х 5! х 7! = 10!. Питам се има ли ово какву генерализацију...

[Mouchette]

n! x (n!-1)!  uvek daje ovo što tražiš
da, već je gore to pomenuto, sad sam videla

[mac]

Sudeći po ovom topiku i odgovoru na pitanje sa math.stackexchange.com nema mnogo tih netrivijalnih slučajeva. Prvi spada u trivijalne, drugi se navodi u odgovoru, a preostala dva u odgovoru su 9!=7!3!3!2! i 16!=14!5!2!. To je to, nema ih više.

Glavno ograničenje (i olakšavajuća okolnost za računarsku pretragu) je da svi prosti brojevi u rezultujućem faktorijelu moraju da se nađu i u proizvodu faktorijela, to jest veći od dva faktorijelna činioca mora da sadrži najveći prosti broj koji se sadrži u rezultujućem faktorijelu. Zaključak: ako pretragom koju opisuje Viktor dođeš do prostog broja (kao što je 43) dalje više ne moraš ni da tražiš, jer nema rešenja.

[Джон Рейнольдс]

Хвала, људи. Ево јутрос сам му искрено честитао јер је у суштини схватио правило, али га је исказао речима тима - треба наћи факторијал који би био заправо следећи у низу оног другог чиниоца. Међутим, није се трудио да га баци на папир у виду формуле јер га је збунило то нетривијално решење које се није уклапало и онда је кренуо "пешке" да тражи неко друго правило које очигледно не постоји. Занимљиво је да га привлаче велики бројеви. Тако је случано набасао на 6!7!=10! - множио је у школи с другаром не би ли направио таблицу првих десет факторијала (и да му прође време), па пошто му је овај био само сајдкик, задао му је "домаћи" лупивши два броја. Потом да би проверио решење, помножио је и одушевио се - хеј, ово је 10!

Учитељ им даје да се баве разним стварима јер има њих тројица одликаша који су несносни, Банда одличних ученика се зову, и пошто су себи привукли још неколицину сад их је критична маса, много су јаки, прозивају и малтретирају децу, туку јаче од себе (чудновата замена улога), смишљају грубе игре и често им се гледа кроз прсте због успеха, али изгледа да је за неке ствари стрпљење при крају. Организоваће им сад неко такмичење логичких задатака у сарадњи с Архимедесом, "Мислиша" се зове, па ће бити мира недељу дана.

[Alexdelarge]

a za čega ti faktorijali uopšte služe?

[mac]

Služe svačemu, ali najviše služe tome da matematičari imaju šta da rade, kao što im služi i ostatak matematike. Pogledaj članak na Vikipediji, odeljak Applications

[Mouchette]

a za čega ti faktorijali uopšte služe?

Da, recimo, izračunaš na koliko načina možeš poređati svoje knjige na policu. Ali, kako lepo reče mac, verovatno imaš nešto pametnije da radiš 

[Mica Milovanovic]

Ja ih uvek tako poređam da posle ne mogu da ih nađem... 

[Mouchette]

Eh, Mico, ti tvoji načini su neprebrojivi

[Mouchette]

 
Ono što je mac pomenuo, da matematika postoji kako bi matematičari imali šta da rade , lepo je objašnjeno i u ovom tekstu. Šta se dogodilo sa  matematikom u proteklom veku, zašto tradicionalni pristup opstaje u školama, o značaju zakona isključenja trećeg i logike uopšte... o tome kako je matematika lepša od filozofije jer, kako Hilbert kaže, 'mathematics is a game played according to certain rules with meaningless marks on paper"... i o mnogim drugim lepotama iste.

[Father Jape]

Pade mi na pamet, Džone, možda si ti negde i spominjao, ali mislim da bi trebalo Mareta da pošalješ, ako to još uvek funckioniše, na časove u Klub mladih matematičara Arhimedes.

[Mouchette]

 Jedan zabavan, ne preterano težak zadatak (u mom slobodnom prevodu):
Pera je uhvaćen u krađi, sudi mu bivša žena. Ona prema njemu i dalje gaji simpatije (rekoh, zadatak je zabavan), ali je pravedna i  izvršiće propisanu kaznu: pucaće dva puta u njega iz revolvera koji ima dva metka. Ona mu saopštava da će metke staviti jedan do drugog, a zatim zavrteti burence i pucati jednom, a onda još jednom. Pera je imao sreće i preživeo je prvi pucanj. Žena ga pita da li želi da opet zavrti burence ili da puca odmah, bez okretanja. Šta je bolje da Pera odabere?
Zadatak je matematički, dakle otpadaju odgovori tipa 'nek odabere pancir' ili 'nek brzo trči'...

[mac]

Znam rešenje, ali neću da kažem

[Mouchette]

Znam rešenje, ali neću da kažem

Priznaj da ti je žena sudija

[mac]

I sudija, i porota, i dželat. Još samo da je nađem...

[Mouchette]

Neoženjen? Nisam nikada ni sumnjala u tvoju pamet.

[Berserker]

Jedan zabavan, ne preterano težak zadatak (u mom slobodnom prevodu):
Pera je uhvaćen u krađi, sudi mu bivša žena. Ona prema njemu i dalje gaji simpatije (rekoh, zadatak je zabavan), ali je pravedna i  izvršiće propisanu kaznu: pucaće dva puta u njega iz revolvera koji ima dva metka. Ona mu saopštava da će metke staviti jedan do drugog, a zatim zavrteti burence i pucati jednom, a onda još jednom. Pera je imao sreće i preživeo je prvi pucanj. Žena ga pita da li želi da opet zavrti burence ili da puca odmah, bez okretanja. Šta je bolje da Pera odabere?
Zadatak je matematički, dakle otpadaju odgovori tipa 'nek odabere pancir' ili 'nek brzo trči'...

ovaj je lak, jer je sansa za pogodak iz prve 2:4 (valjda je u pitanju klasican 6-shooter) a sansa za pogodak posle prvog promasaja 2:3 (sad su ostala samo 3 prazna mesta u burencetu).

[Mouchette]

ovaj je lak, jer je sansa za pogodak iz prve 2:4 (valjda je u pitanju klasican 6-shooter) ...

Verovatno si hteo da kažeš da je (sa obrtanjem) verovatnoća da bude pogođen 2:6, tj. da preživi 4:6 (kao i kod prvog pucnja)?
Onda bi tvoja druga verovatnoća (bez obrtanja) bila 2:5, (da preživi 3:5), ali nije!

[Джон Рейнольдс]

Ево задатка који је данас био забава. Фали и питање - да ли је уопште могуће решити?



"Дужи" - мисли се на све црте између тачака пресека, наравно, не странице, итд.

[mac]

Ovde imamo tri površi ograđene neparnim brojem duži. Pošto imaju neparan broj duži onda linija koja preseca te duži mora da započne iz tih površi (ili završi u njima). Pošto takvih površi ih ima više od dve onda ne postoji rešenje sa jednom linijom, jer linija ima samo dva kraja.

[Джон Рейнольдс]

Маре има (контровезно, додуше) решење. Са много варијанти.

[Джон Рейнольдс]

У старту ми се учинило да је задатак од thinking outside the box феле, па ако се захтев на одређени начин интерпретира, може и ово:

[mac]

Tja, ovo seče dvaput, a na jednom mestu. Dobra ideja, u svakom slučaju. Možda Mare jednom reši i Kobajaši Maru

[Albedo 0]

zaebano, nisam provalio

[Джон Рейнольдс]

Проблем је у томе што не знамо одакле је овај задатак, јер га је Марету пренео један другар, а вероватно је извучен из неког енигматског часописа или сл. Деца су то пренела, па не знам како тачно гласи, можда је трик у томе да каже "сече на једном месту" или "у једној тачки", а не "једном". И онда би овакво решење било валидно. А опет, веома је било корисно твоје (едит: mac) објашњење зашто не може ако се посматра стриктно "једном", тако да... хвала несразмерно.    Велика је свађа испала око тога у школи. 

[tomat]

ja nešto potražio na netu, kažu ne može da se reši.

[Albedo 0]

Answer: Unfortunately, this, one of the most popular classic puzzles, has no solution. At least, one wall always will be left unpassed.

It was easy proved by Martin Gardner. The proof (adopted to our case with the walls and rooms) is as follows: <<A continuous line that enters and leaves one of the rectangular rooms must of necessity cross two walls. Since the three bigger rooms have each an odd number of walls to be crossed, it follows that an end of a line must be inside each if all the 16 walls are crossed. But a continuous line has only two ends, so the puzzle is insoluble.>>




edit: ulete tomat, ali to je to...

[Mouchette]

Najpre, dugujem rešenje za onaj zadatak sa revolverom:

Pera je uhvaćen u krađi, sudi mu bivša žena. Ona prema njemu i dalje gaji simpatije (rekoh, zadatak je zabavan), ali je pravedna i  izvršiće propisanu kaznu: pucaće dva puta u njega iz revolvera koji ima dva metka. Ona mu saopštava da će metke staviti jedan do drugog, a zatim zavrteti burence i pucati jednom, a onda još jednom. Pera je imao sreće i preživeo je prvi pucanj. Žena ga pita da li želi da opet zavrti burence ili da puca odmah, bez okretanja. Šta je bolje da Pera odabere?

Ukratko (bez mnogo teorije o uslovnoj verovatnoći i nezavisnosti):
Ako se burence okrene, verovatnoća da bude upucan je 2/6 , tj. oko 33% (jer imamo dva metka na šest mogućih položaja).
Ako je prvi bio promašaj, onda je verovatnoća da u drugom bude upucan bez okretanja 1/4, tj. 25% (jer za dva susedna položaja ima 6 mogućnosti:  11, 10, 00, 00 00, 01, a pod pretpostavkom da je prvi bio 0, imamo samo jednu od 4 mogućnosti da u drugom bude pogođen).
Dobro, to ne znači da će se izvući ako ne izabere okretanje burenceta, ali znači da, ako ponavlja krađu npr. 100 puta, možemo očekivati da će u prvom slučaju biti ubijen 33, a u drugom 25 puta 

A sad nešto zanimljivo za ljubitelje čokolade - kako je jesti u nedogled!



Ili:

[Джон Рейнольдс]

Ево још мало пувања. Маре међу првима на "Архимедесовом" такмичењу. Тачније, дели прво место (редни број 45, нема преваре, нема лажи) међу 240 деце која су освојила максимални број бодова. Учествовало је 9.186 другака. Сви подаци су на сајту http://www.mislisa.rs/ .

Сад, не бих ја био ја да критички не анализирам табеле. Такмичење су локално организовале саме школе, те се десило оно што сам некако и предвидео. Нпр, у Маретовој конкуренцији чак 12 деце освојило је максималан број бодова из неке школе из Каравукова. Е сад, можда је то Каравуково (Где је то? Кара-вуково - вуко-јебина, WTF?!? нашао сам, мало западно од Оџака) заиста расадник младих математичара, а можда им је неко решавао задатке. Исто тако, има још неких школа које су дале много тих с првим местима, док ето Маретов "Панчић", по успеху најбољи на Чукарици, једног на првом и једног на другом месту. А у "Панчићу" није било зезања с преписивањем, помагањем, итд. Наставници су поштено одрадили посао.

Било како било, финале надзиру сами "Архимедесовци", ту ће се видети ко је ко, па чекамо 21. април.

Друга занимљива ствар је драстично опадање броја учесника по разредима. Ево за оне који не би да се зајебавају по сајту, занимљиво је (бар мени јер сам поносни ћале, иначе бих одмахнуо руком јер све је јасно), дакле број учесника од другог разреда основне, па до четвртог средње:

9.186     8.556     7.986     4.273     3.168     2.462     1.771      37.402         1.246    1.083     825     785

Драстичан је пад броја учесника између четвртог и петог разреда. Јасно, клинце све више занимају Карлеуша, "Фарма", дрога, Драгојевићеви филмови, улазак у Европску унију, "Свет" и "Скандал" него тамо нека математика. Али тако ваљда и треба да буде.

[Tex Murphy]

Свака част! 

[Mme Chauchat]

Bravo!
(...ne treba potcenjivati značaj specijalizacije. Možda se klinci u starijim razredima okreću fizici, astronomiji... nije Karleuša koren svega zla..)

[Джон Рейнольдс]

Bravo!
(...ne treba potcenjivati značaj specijalizacije. Možda se klinci u starijim razredima okreću fizici, astronomiji... nije Karleuša koren svega zla..)

Свакако.  Морао сам некако у причу да убацим "улазак у ЕУ", па ето... Тих девет сома је претерано, клинце натерају родитељи или наставници, јер ту неколико деце из окружења учествовало је само због тога и наравно нису урадили ништа.

[Mouchette]

Маре међу првима на "Архимедесовом" такмичењу...

Zanimljivi su zadaci na tom takmičenju, nije tu dovoljno nabubati formule i obrasce i šablonski ih primeniti. Čestitke Maretu!

[Midoto]

Маре међу првима на "Архимедесовом" такмичењу...

Zanimljivi su zadaci na tom takmičenju, nije tu dovoljno nabubati formule i obrasce i šablonski ih primeniti. Čestitke Maretu!

I ja se pridružujem čestitkama i ovoj karakteristici zadataka koje deca rešavaju na "Misliši". Navijam za Mareta u finalu

Slažem se i sa Jevtropijevićkom (iliti gospođom Šoša - samo ne mogu da zamislim Jevtropijevićku kako treska vratima dok ulazi u prostoriju, kao što to Klavdija čini ) da se manja deca okušavaju u svemu, a vremenom shvate šta ih više zanima ili ne zanima, u čemu su uspešniji...

[Mme Chauchat]

Slažem se i sa Jevtropijevićkom (iliti gospođom Šoša - samo ne mogu da zamislim Jevtropijevićku kako treska vratima dok ulazi u prostoriju, kao što to Klavdija čini )

A to nam je, uz kose oči, glavna sličnost