Testirajmo Ghoulovo znanje matematike!

[Джон Рейнольдс]

Ako je tako, kad zeka trči po šumi?

[Alexdelarge]

a je l' taj zeka juri papagaja?

[Ygg]

Ko daje ygg-u za pravo da popularise fiziku?

Nisam rekao da ja popularišem fiziku, već da se fizika populariše na ovom topiku. 

A ovaj zadatak iz fizike je gradivo osnovne škole, tako da to potpada pod maj fah.

[scallop]

S'm ti nastavi, Ygg. Meni ništa nije falilo da moj topik "Šta smo dobro krkali ovih dana" isprati 25.000 poseta.

Nego, šta je sa banderom?

Johne, zeka trči po šumi kad ga lovi sovuljaga.

[Tex Murphy]

Aman, ko se ovde testeriše? Ygg, reaguj!

Ma nema veze! Bitno je da se ovdje popularizuje matematika & fizika & logika.
Ima da ovaj topik postane popularniji od Best topika EVER!
 

Best topik EVER nije best topik EVER zbog popularnosti nego zbog kvaliteta.

[Джон Рейнольдс]

Skalope, nisi bio najprecizniji. Da li se pored štoperice mogu poneti i merdevine i teg od kilogama, na primer? Ili samo štoperica?

[mac]

Mislim da se podrazumeva da možeš da se popneš na banderu i bez merdevina.

[Джон Рейнольдс]

Klizave su bandere. Ja bez merdevina nikako, još i sa tegom... Ajde, štopericu mogu i u džep.

[Ygg]

Mislim da može i samo štopericom, bez penjanja na banderu. Možda tako što se baci štoperica vertikalno uvis do visine bandere i onda hvata. Uključi se u momentu bacanja, a isključi u momentu hvatanja. A onda iz formule za slobodan pad možemo dobiti visinu. (Vrijeme potrebno da tijelo izbačeno uvis dođe do neke visine jednako je vremenu potrebnom za slobodan pad sa te visine, pa dobijeno vrijeme treba prepoloviti).

A i problem s penjanjem na banderu je kako zaustaviti štopericu kad padne na zemlju, ako si na banderi. Bila bi potrebna dva čovjeka.

[Tex Murphy]

Pa ako je to imalo normalna štoperica, zaustaviće se sama tako što će da se razbije o beton.

[Джон Рейнольдс]

@ Ygg

Kilavo rešenje. Nemoguće je baciti štopericu idealno vertikalno uvis i pri tome dosegnuti visinu bandere. Drugo, trebalo bi na izračunato dodati i svoju visinu u predelu ruku (opet je to aproksimativno) jer nećeš hvatati štopericu na samoj zemlji, niti je sa zemlje možeš baciti.

[Ygg]

Pih... sitnice. Koja ste vi zakerala!

[JasonBezArgonauta]

E ovo je matiš

[scallop]

Pa ako je to imalo normalna štoperica, zaustaviće se sama tako što će da se razbije o beton.

Ygg plus Harvester.

[Ygg]

Ajd da svoj 666. post utrošim pametno. 

Evo zadatka čiji je autor navodno Albert Einstein lično. Legenda kaže da  je on tvrdio da samo 2% ljudi može da ga riješi za manje od 15 minuta.

Ovakvi zadaci zovu se integrami i poznati su svakom enigmati. Recimo, u hrvatskoj Kviskoteci postojala je (i vjerovatno postoji još uvijek) u svakom broju redovna rubrika sa zadacima ovog tipa, samo obično laganijim.



Zadatak glasi:

Uz rijeku je 5 kuća u 5 različitih boja. U svakoj od tih kuća živi čovjek različite nacionalnosti, s različitim kućnim ljubimcem, puši svoju vrstu cigareta i naviknut je na svoje omiljeno piće!

Poznati podaci:

1. Englez živi u crvenoj kući.
2. Švedjanin drži psa.
3. Danac pije čaj.
4. Zelena kuća je po redu odmah prije bijele.
5. Vlasnik zelene kuće pije kafu.
6. Osoba koja puši "Pall Mall" gaji ptice.
7. Vlasnik žute kuće puši "Dunhil".
8. Čovjek koji živi u kući u centru pije mlijeko.
9. Norvežanin živi u prvoj* kući.
10. Čovjek koji puši "Blend" živi pored onog koji drži mačku.
11. Onaj koji drži konje živi pored onog koji puši "Dunhil".
12. Čovjek koji puši "Blue Master" pije pivo.
13. Njemac puši "Prince".
14. Norvežanin živi pored plave kuće.
15. Čovjek koji puši "Blend" ima susjeda koji pije vodu.

Einsteinovo pitanje: Ko gaji ribe?

*Mala napomena. Čisto da ne bude zabune. Smatramo da su kuće poredane s lijeva na desno: dakle, prva kuća je prva s lijeve strane a posljednja je ona skroz desno.




Integrame je mnogo jednostavnije rješavati ako podatke prikažete tabelarno. Ja sam bio dobar pa sam napravio tabelu, pa ko hoće može da je isprinta i da pokuša zadatak riješiti pomoću nje.

[Джон Рейнольдс]

Glupo. Zar "prince" ne bi trebalo da puši Danac? To su danske pljuge. Malo je bezveze da ih puši Švaba. "Blue master" su norveške, valjda njih puši Norvežanin.

[Ygg]

Pa dobro, ovo nisu tipični predstavnici svojih nacija. Mislim da se dobije i da Njemac ne pije pivo, niti Englez čaj.

[Ghoul]

Norvezanin gaji ribe.

[Ygg]

Norvezanin gaji ribe.

Ne. Pogriješio si negdje.

[Tex Murphy]

Švabo!

[Tex Murphy]

Ovo me je inspirisalo. Odlučio sam da napišem naučni rad o integramima, tj. da sve svedem na matematičke pojmove i tako ovoj zanimljivoj igri oduzmem svu draž !

[Ygg]

Jeste. švabo. 
Pa ovo je čisto matematička igra, zato i jeste zanimljiva! 

[mac]

Ajd sad objasni otkud Švabo...

[Tex Murphy]

Pa da. Zapravo je u integramu zadan neki skup U koji je jednak uniji šest skupova (u ovom slučaju skupovi nacionalnosti, kuća, rednih brojeva, ljubimaca, pića i cigareta, koje ćemo da označavamo sa N, K, R, LJ, P i C respektivno) od kojih svaki ima po pet elemenata i traži se da se odredi neka relacija R na tom skupu. Skup U ima dakle trideset elemenata, pošto svaki od ovih skupova ima po pet elemenata. Dekartov proizvod tog skupa sa samim sobom (oznaka UxU) je skup svih uređenih parova (a,b) gdje su obje komponente iz skupa U. Dakle, taj proizvod ima devetsto elemenata. Relacija na nekom skupu je, kao što znamo, podskup Dekartovog proizvoda tog skupa sa samim sobom i mi treba da odredimo tu relaciju. Prva olakšavajuća okolnost je što znamo da će ona imati manje od devetsto uređenih parova. Druga olakšavajuća okolnost jeste to što su uslovi zadani vrlo lukavo tako da ta relacija bude relacija EKVIVALENCIJE.
Naime, tu relaciju možemo da formulišemo na sljedeći način: Uređeni par (a,b) pripada relaciji R (ili: komponente a i b su u relaciji R) ako i samo ako postoji takav element c da važi: (a,c) je u R i (b,c) je u R. U ovom primjeru jedna od mogućih formulacija bi bila: Komponente a i b su u relaciji R ako i samo ako "pripadaju istoj kući" (pojam pod navodnicima nije najprecizniji, ali pretpostavlja se da se zna šta to znači). Primjera radi, da li su kafa i pas u relaciji, tj. da li se oni nalaze u istoj kući? Nakon postupka koji ćemo objasniti docnije dolazimo do informacije da je pas ljubimac pete kuće, a da se kafa pije u četvrtoj, te nijedan od parova (kafa,pas) i (pas,kafa) ne pripada našoj relaciji. Iz formulacije sa "pripadnošću istoj kući" potpuno jasno se vidi da je R relacija ekvivalencije. Refleksivnost očigledno važi jer niko ne može da živi u dvije kuće istovremeno (po uslovima zadatka). Simetričnost je takođe ispunjena jer redoslijed komponenti nije od značaja. Npr: Ako su a i b u relaciji R, tj. (a,b) pripada R, tada a i b žive u istoj kući, tj. a živi u kući K i b živi u kući K, tj. (zbog komutativnosti konjunkcije), b živi u kući K i a živi u kući K, tj. b i a žive u istoj kući K, tj. b i a su u relaciji R (odnosno (b,a) pripada R). Tranzitivnost: Ako parovi (a,b) i (b,c) pripadaju R, znači da a i b žive u istoj kući i b i c žive u istoj kući, tj. a živi u nekoj kući K, b takođe živi u nekoj kući K, b živi u nekoj kući L i c živi u toj kući L. Pošto b može da bude samo u jednoj kući, slijedi da je K=L, tj. c takođe živi u kući K, baš kao i a, pa su a i c u relaciji, tj. (a,c) pripada R.
Ova relacija ekvivalencije, kao i ostale, particioniše kompletan skup na dijelove koji su međusobno disjunktni a njihova unija je jednaka kompletnom skupu. U tim dijelovima, tzv. particijama, mi ćemo da dobijemo sve kombinacije uređenih parova oblika (a,b) gdje su a i b komponente koje egzistiraju u istoj kućici.

To je otprilike postavka problema, a poslije ćemo da opišemo njegovo rješavanje

[Tex Murphy]

Ovo je bio odgovor na Yggov post.
mac, suština je u sljedećem: svi uslovi koji su navedeni gore služe ili da nam eksplicitno navedu koje komponente su u relaciji ili da nam eliminiše neke komponente. primjera radi: Englez živi u crvenoj kući, znači uređeni par (Englez,crvena kuća) pripada R. Pošto svaka komponenta može da bude u relaciji sa samo jednom komponentom iste vrste (zbog particionisanja), slijedi da niko osim Engleza ne živi u crvenoj kući, te iz početnih 900 uređenih parova brišemo npr. parove (Norvežanin, crvena kuća), (Šveđanin, crvena kuća) itd. Takođe brišemo parove (Englez,plava kuća), (Englez, zelena kuća) itd. Kad ovim postupkom eliminišemo dovoljan broj parova, dolazimo lako do rješenja.

[Ygg]

Harvi je to fino objasnio, samo previše matematički, rekao bih.

@mac: Najlakše je riješiti zadatak preko tabele. Npr. dato je da Englez živi u crvenoj kući. To u tabeli možemo označiti tako što stavimo znak plus u polje u kojem se ukrštaju red ENGLEZ i kolona CRVENA. Možemo odmah staviti i minuse u sva polja u redu i koloni u kojem se nalazi to polje (unutar kvadrata 5x5 naravno), jer ako Englez živi u crvenoj kući, onda sigurno ne živi u kući neke druge boje i, ako u crvenoj kući živi Englez, onda u njoj sigurno ne živi neko druge nacionalnosti. Slično uradimo i za ostale uslove, s tim da neke uslove ne možemo odmah iskoristiti već tek kasnije. Npr. uslov 10. (Čovjek koji puši "Blend" živi pored onog koji drži mačku) nam u početku ne govori ništa osim da onaj koji ne puši Blend ne drži mačku, tek kasnije će taj uslov još doći do izražaja.
I tako, koristeći uslove zadatka i malo kombinatorike i zdrave logike može se postepeno popuniti cijela tabela plusevima i minusima. Dakle, tačno je određeno ko gdje živi, koje piće voli, kojeg ima kućnog ljubimca itd.

Okačiću malo kasnije i tabelu s rješenjem (tj. popunjenu), sad odoh da dovršim spremanje večere.

[mac]

Znam ja kako se rešavaju ovi problemi (ja ih znam kao detektivske probleme). Mislio sam da Harvi objasni rečima kako je došao do konkretnog rešenja. Uzgred, nešto mi se javlja ovaj Ajnštajnov zadatak, i to da konačne tabele nisu potpuno popunjene.

[Tex Murphy]

Mac, meni je trebalo blizu dva sata da riješim ovaj problem, pošto integrame nikad prije nisam rješavao (a možda i zato što nisam pisao na papiru nego editovao sliku s tabelom u Paintu ). Nema šanse da se sad sjetim postupka jer je isti vrlo dug i kompleksan.

[Tex Murphy]

Riječ-dvije o tabeli: Vidimo da tabela ima po pet grupa pojmova sa lijeve i gornje strane i da je dimenzija 25x25, s tim da se neka polja ne popunjavaju. Za predstavljanje čitavog Dekartovog proizvoda trebala bi tabela sa po 6 grupa pojmova lijevo i gore i ukupnih dimenzija 30x30. Međutim, po jedan pojam je izbačen gore i lijevo zbog ponavljanja (npr. nema potrebe da imamo parove tipa (životinja,životinja)). U ovoj "redukovanoj" tabeli takođe je uzeta u obzir simetričnost, pa se npr. odnos između ljubimaca i cigareta javlja (kako je i red) samo jednom - cigarete su četvrte odozgo, a ljubimci drugi s lijeva. To je ovaj "veliki" kvadrat koji se sastoji od 25 malih kvadrata. Odmah dijagonalno od njega (jedno mjesto dole i desno) bi se nalazio ponovo taj isti odnos, samo sa obrnutim redoslijedom, pa tog kvadrata nema.
Dakle, umjesto kvadratne dobijamo, uslovno rečeno, trouglastu tabelu u kojoj treba da popunimo svega petnaest velikih kvadrata, odnosno 15x25=375 polja. Ako su a i b u relaciji R (tj. (a,b) pripada R), ucrtavamo odgovarajući znak u onom redu u kom se nalazi pojam a i u onoj koloni u kojoj se nalazi pojam b. To neka bude recimo znak 1, što označava tačno. Ostala polja u tom redu i toj koloni u tom istom velikom kvadratu označimo nulama. Zašto? Pa, ako je pojam a u relaciji sa pojmom b iz neke grupe, onda on ne može biti u relaciji sa još jednim pojmom iz te grupe (to je uslov zadatka). Dakle, mi iz naše relacije R brišemo sve uređene parove tipa (a,b1), gdje je b1 različito od b.
Naročito je interesantno kretanje kroz ovu tabelu. Npr. ako znamo da se Blue Master puši u bijeloj kući, da je bijela kuća peta po redu i da u njoj živi Šveđanin, krenuvši od polja koje odgovara Blue Masteru i bijeloj kući (prva kolona, sedmo polje odozdo) možemo da dođemo do pete kuće idući prema gore, zatim odatle krenemo desno i završimo kod Šveđanina. Na osnovu tog pravougaonog kretanja možemo da zaključimo da Šveđanin puši Blue Master i to upišemo na odgovarajuće mjesto u tabeli. Usput možemo da pokupimo i razne druge podatke - npr. ako slučajno na našoj putanji prema Šveđaninu nabasamo na jedinicu tamo gdje se ukrštaju pivo i kuća broj pet, znamo odmah i da Šveđanin pije pivo.
Ovo pravougaono kretanje kroz tabelu je zapravo korišćenje svojstva tranzitivnosti relacije R. Ako su parovi (a,b) i (b,c) u relaciji R, tada je u njoj i par (a,c). Primjer: Ako Šveđanin pije pivo (par (Šveđanin,pivo) je u R) i ako Šveđanin živi u petoj kući (par (peta kuća, Šveđanin) je u R), tada je i par (pivo, peta kuća) u R.
Iz ovoga se lako vidi kako se jednostavniji uslovi tipa "Norvežanin živi u prvoj kući" prevode u uređene parove u relaciji.
Ali šta je sa komplikovanijim uslovima tipa "Čovjek koji puši Blend živi pored onog koji drži mački" ? Oni nam ne daju direktno parove koji pripadaju relaciji, nego neke parove koji NE pripadaju relaciji i još neke implikacije koje mogu da se koriste u kasnijem računu. Ako čovjek koji puši Blend živi pored onog koji ima mačku, znamo odmah da par (Blend,mačka) ne pripada našoj relaciji. Ovaj uslov nam takođe daje i sljedeći niz implikacija:
Ako par (Blend,prva kuća) pripada R, tada par (mačka,druga kuća) pripada R (tj. mačka živi u drugoj kući).
Ako par (Blend, druga kuća) pripada R, tada ili par (mačka,prva kuća) ili par (mačka,treća kuća) pripada R.
Na sličan način dobijamo još tri implikacije. Ovaj uslov postaje koristan kasnije kad otkrijemo u kojoj je kući Blend - to nam pomaže da suzimo broj mogućnosti za mačku.

[Ygg]

Evo i rješenja. Ja sam pisao pluseve i minuse a Harvi je pričao o jedinicama i nulama.
Inače, Harvi je pojasnio kako se tabele popunjavaju. Objasniti riječima čitav postupak i dolazak do rješenja trajalo bi strašno dugo. Pogotovo što se tek na samom kraju otkrije ko to drži ribe, pa je potrebno popuniti maltene cijelu tabelu.
Lako je provjeriti da ovo jeste rješenje (jer zadovoljava sve uslove iz  zadatka) ali bez popunjavanja tabele ne može se vidjeti da je to rješenje jedinstveno.

[Ygg]

Matematički vicevi!

(Besramno kopirani sa koleginog statusa na fejsbuku)



Logic is a systematic method for getting the wrong conclusion... with confidence.

A topologist is a person who doesn't know the difference between a coffee cup and a doughnut.

Q: Why do mathematicians, after a dinner at a Chinese restaurant, always insist on taking the leftovers home?
A: Because they know the Chinese remainder theorem!

Life is complex: it has both real and imaginary components.

Q: What is sour, yellow, and equivalent to the axiom of choice... A: Zorn's lemon...

Two mathematicians are studying a convergent series. The first one says: "Do you realize that the series converges even when all the terms are made positive?" The second one asks: "Are you sure?" "Absolutely!"

Q: What is purple and commutative? A: An abelian grape...

Q: What is normed, complete, and yellow? A: A Bananach space...

Q: How does a mathematician call his dog? A: Cauchy - because it leaves a residue at every pole...

[Tex Murphy]

Ovaj sa Košijem je sjajan, a ostali su onako.

[Ghoul]

vi, bre, matematičari, skroz ste izgubljeni slučajevi.
čak vam ni vicevi nisu smešni!

(tj, da bi bili smešni nekome, taj neko prvo mora da bude matematičar!)

[Tex Murphy]

Jedu mi se krofne.

[Ghoul]

Jedu mi se krofne.

onda je trebalo da budeš pajkan a ne matematičar!

[Kler_Vojant]

svaki pravi drot konzumira krofne

[Ygg]

Opet frapantno nepoznavanje matematike, tj. u ovom slučaju logike. Ako svi policajci vole krofne, iz toga ne slijedi da su svi koji vole krofne policajci.

Ghoule, polako počinjem da sumnjam da će od tebe ikad biti matematičar.

[Ghoul]

Opet frapantno nepoznavanje matematike, tj. u ovom slučaju logike. Ako svi policajci vole krofne, iz toga ne slijedi da su svi koji vole krofne policajci.

Ghoule, polako počinjem da sumnjam da će od tebe ikad biti matematičar.

Opet frapantno nepoznavanje psihologije.
Ako harvovom fetišu prema krofnama dodamo njegovo sporo shvatanje i stalno kašnjenje i kaskanje za događajima, 'otkrivanje amerike' koju su svi pre njega već otkrili, opsesiju trešom i neukusom, jeftinom zabavom (video igrice!), te patološku opsesiju sisama, onda vidimo da se harv savršeno uklapa u psihološki profil PAJKANA.

prema tome, moja aluzija je zasnovana ne samo na goloj logici, kako kolega ig naivno zamišlja, već pre svega na primenjenoj dubinskoj psihologiji.

ali, ig, polako počinjem da sumnjam da će od tebe ikad biti psiholog.

[Ygg]

ali, ig, polako počinjem da sumnjam da će od tebe ikad biti psiholog.

Ovo ću shvatiti kao kompliment.

[Ghoul]

ali, ig, polako počinjem da sumnjam da će od tebe ikad biti psiholog.

Ovo ću shvatiti kao kompliment.

ali zato ako nastaviš da se družiš s harvom, i naročito, da zajedno s njim gledaš filmove, imaš dobre šanse da postaneš predmetom proučavanja psihologa i psihijatara!

[Tex Murphy]

Ha! Polako počinjem da sumnjam da će od tebe ikad biti poznavalac naših filmskih večeri. Naime, neka od najvećih zlodjela koja smo gledali donio je upravo Ygg.

[Ghoul]

neka od najvećih zlodjela koja smo gledali donio je upravo Ygg.

u to sam apsolutno siguran!

[Tex Murphy]

neka od najvećih zlodjela koja smo gledali donio je upravo Ygg.

u to sam apsolutno siguran!

Doduše, kad se sjetim Kratkofila i onih tvojih Danaca "s kojima ne možeš pogriješiti"...

[Melkor]

An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says "You're all idiots", and pours two beers.

[Ygg]

Sjajno!


A evo još jedan vic koji s matematičarom:

Jedan matematičar je došao na konjske trke i tom prilikom uložio je sav novac kladeći se na konja broj 5. Uradio je to imajući u vidu da je rođen 5. maja 1955. godine, a tog dana je i njegova peta žena rodila peto dijete, dugačko 55 centimetara... Konj na koga se kladio stigao je peti.

[Tex Murphy]

An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says "You're all idiots", and pours two beers.

[Melkor]

У совјетској Русији, чувеном математичару дође пријатељ и каже му да ће сутра тајна служба да га ухапси и осуди - сад стрељање или Сибир - још се не зна.Пита он шта да ради...пријатељ му каже да побегне што дубље у унутрашњост, да се пријави у неки колхоз као неписмени радник, да оре и копа једно две године, па да се пријави у вечерњу школу - то комунисти воле. На крају ће завршити као наставник у некој школи и нико га неће приметити.
Он тако и уради. После две године, дођу да питају ко хоће у вечерњу школу, он дигне своју жуљевиту руку и позову га. Ко буде добар у школи - може и у партију да уђе!!!
Крене он у школу. Језик, прво вуку косе црте два часа, па усправне два часа...све он то преживи, али дође математика.
Први час бројеви од један до десет. Једно пети час, наставница напише на табли, после објашњења од пола сата о сабирању, 1+1=? и пита ко ће ово да реши. Он полуди и јави се. Крене са интегралима, диференцијалима, лимесима, вектори, векторска поља...
На крају добије резултат 1+1=3. Запањен стане, и пита - где сам бре погрешио? Из задњег реда се стидљиво дигне рука једног дрвосече који каже - код Кошијевог критеријума конвергенције низова!

[smrklja]

jel si taj primer uzeo iz pavićeve knjige predeo slikan čajem ?

[Melkor]

Ne, dobio sam ga u nekom od par desetina "zanimljivih i humoristickih" mailova koji stizu nedeljno.

[Ygg]

Jeste, priča je očigledno pokradena iz Pavićevog Predela slikanog čajem. Priča se zove Šala o Fjodoru Aleksejeviču Razinu.

To je priča o jednom velikom matematičaru koji je živio u Moskvi, negdje u Staljinovo vrijeme. Pošto je on bio čuven profesor na univerzitetu tražili su od njega da se učlani u komunističku partiju. On je to nevoljno na kraju i uradio i na prvih nekoliko sastanaka samo je ćutao i zapisivao nešto u svoju bilježnicu, a onda se jednom javio za riječ i krenuo je da matematički objašnjava kako je to što oni tvrde u svojim govorima ustvari nemoguće.

I to je na sastanku rekao svojim neiskvarenim jezikom brojki, podvukavši da ono što traže drug A iz komiteta i drugarica B iz pratećih službi, ne može da u rezultatu da (kako oni očekuju) C, nego Y, pa prema tome da bi se dobilo željeno C, neophodno je i logično menjati baš ono što oni...

Itd. Uglavnom, na kraju je naš matematičar pobjegao iz Moskve u neki udaljeni gradić i tamo - čistio snijeg. Ubzo je proglašen za najboljeg čistača snijega u okrugu i onda su, gle čuda, opet od njega tražili da uđe u komunističku partiju. On se branio time da je nepismen, te su ga poslali na tečaj za nepismene. I tu dolazi do sjajnog finala priče:

Potom se okrenula tabli [učiteljica], iz uha izvukla komadić krede i počela čas matematike.

— Jedan plus jedan — pisala je i naglas sricala Natalija Filipovna — jedan plus jedan jesu dva! I to i u ponedeljak i u utornik, upamtite. I juče su bili i biće vo vjek i vjekov dva i samo dva.

U sobi je bilo toplo, peć je počela da šeta ko puštena s lanca, svi su sricali: jedan plus jedan jesu dva, Fjodor Aleksejevič i sam je uzeo plajvaz da pribeleži ono sa table i tada ne izdrža. On tek sada shvati da se, otkad je uzeo lopatu da čisti sneg, ne znoji više i da sve to neisceđeno mora nekud iz njega napolje. I prvi put za sve ove godine ne izdrža. Ustao je odlučno, odmah udario glavom o tavanicu, izišao na tablu, obratio se svojim predašnjim samouverenim glasom Nataliji Filipovnoj koja je nemo gledala u njega i rekao na zaprepašćenje svih prisutnih:

— To je matematika XIX stoleća, draga Natalija Filipovna. Dozvolite da to primetim. Današnja, moderna matematika drugačije gleda na stvari. Ona zna da jedan i jedan ne moraju uvek biti dva. Dajte mi tu kredu za časak, pa ću vam odmah dokazati.

I Fjodor Aleksejevič je počeo urođenom brzinom ispisivati po tabli brojeve. Jednačina za jednačinom se redala, u prostoriji je vladao tajac, profesor je prvi put posle toliko godina ponovo radio svoj posao, doduše, onako pognut nije imao najbolji pregled brojki, kreda je čudno nekako škripala i odjednom rezultat je ispao sasvim protiv očekivanja Fjodora Aleksejeviča opet 1+1=2.

— Trenutak! — uzviknuo je Fjodor Aleksejevič — nešto nije u redu, samo trenutak, odmah ćemo videti gde je greška — a po glavi mu se motala besmislica: Sve izgubljene partije karata čine celinu! i od nje nije mogao da računa. Misli su grmele u njemu i grmljavina misli zaglušivala je sve ostalo.

Ali, njegova besprimerna umešnost išla mu je naruku, on je odmah znao gde će naći omašku i poleteo kredom po redovima ispisanih brojeva, sa kojih se već krunio beli prah.

I u tom času ceo razred, njih dvadeset četvorica, svi sem Natalije Filipovne Skargine, počeli su uglas da mu šapuću rešenje:

— Plankova konstanta! Plankova konstanta!