Testirajmo Ghoulovo znanje matematike!

[BladeRunner]

Zdravo svima. Evo jednog (zanimljivog) zadatka, koji je mnogo lakši nego što izgleda na prvi pogled. Formulisan sinoć u zadimljenoj kafani u kojoj diplomirani PMF-ovci (a sada nezreli ljudi u zrelim godinama), kukaju kako se ne bave strukom, a nekad su znali sve što se moglo znati iz topologije i diferencijalne geometrije (besramna laž).

Elem, na zidu je prozor. Gledamo njegovo staklo (pravougaonik). Tjemena su mu A (donje lijevo), B (donje desno), C (gornje desno), D (gornje lijevo), a dužine stranica a(=AB=DC) i b(=AD=BC). Fore radi, neka bude da je b>a (čisto da liči na pravi prozor). Neka iz tjemena C kreće zrak svjetlosti. Taj zrak zaklapa sa stranicama DC i CB ugao od 45 stepeni (tj. simetrala je ugla DCB). Nakon toga, zrak udari u stranicu AD. Od te stranice se zrak odbije pod pravim uglom unutar pravougaonika (tj. ulazni i izlazni zrak zaklapaju ugao od 90 stepeni). Onda udari u stranicu CB. Od nje se opet odbije pod pravim uglom, i nakon odbitka udari u stranicu AD. I tako dalje, zrak se od stranica stalno odbija pod pravim uglom. U jednom trenutku, zrak će se odbiti i udariti u stranicu AB (moglo je to da bude već i u drugom koraku, ali ja sam stavio da se odbio par puta čisto da se shvati zadatak). No prob - i od stranice AB se odbija pod pravim uglom na isti način na koji je opisano gore. I tako se zrak stalno odbija unutar stranica pravougaonika... ali do kada?

Da li će, u opštem slučaju i za proizvoljno a i b, zrak ikad završiti u bilo kom od tjemena pravougaonika nakon konačno mnogo odbijanja ili će se tako odbijati od zidova pravougaonika do kraja vremena? Ako hoće - zašto, a ako neće - u kojim specijalnim slučajevima hoće?

Mislim da je ovo nivo srednje škole, pri čemu je rješenje elegantno, a zadatak fin. Pozdrav.

P.S. I da se pridružim čestitkama

[ALEKSIJE D.]

Au, dokonog li sveta. Šta da očekuješ u kafani, do ovakvih, elegantnih problema.
Bolje da si ovo postavio kao problem sa bilijarem. Jer, brat bratu, ništa te nisam razumeo.

[BladeRunner]

Ali, taj kafić nema bilijarski sto! Kvariš radnju fabule...

[mac]

Ne znam kako da dokažem, ali mislim da količnik a/b treba da bude prikazan kao binarni broj sa konačnim brojem cifara (decimala u binarnom sistemu). U pitanju je binarni broj jer je zrak poslat pod uglom od 45 stepeni. Ako količnik ima konačan broj cifara onda će zrak jednom završiti u nekom uglu.

[Midoto]

Baš lep zadatak. Meni, opet, vuče na simetriju, ali moraću da ga rešavam u prevozu.

@Jevtropijevićka: I isturene jagodice i zarazan smeh, ali lupanje vratima - jok.

[mac]

Moje rešenje nije tačno. Nema potrebe za binarnim sistemom. Ako je a/b racionalni broj onda će svetlost jednom završiti u uglu.

[Midoto]

Dok se vratih - Mac već napisao ono što sam i ja nameravala.
Ja sam rešavala (u početku) preko niza osnih simetrija, dok nisam dokonala da mogu prosto da napravim mrežu pravougaonika.
Mislim da ovaj zadatak mogu da rade i stariji osnovci (čim odrade racionalne brojeve).

[Mme Chauchat]

Нпр, у Маретовој конкуренцији чак 12 деце освојило је максималан број бодова из неке школе из Каравукова. Е сад, можда је то Каравуково (Где је то? Кара-вуково - вуко-јебина, WTF?!? нашао сам, мало западно од Оџака) заиста расадник младих математичара, а можда им је неко решавао задатке.

... danas potpuno, ali potpuno slučajno naiđem na ovaj blog i na jedan određen unos:
http://tatjanakovacev.wordpress.com/2012/12/24/%D1%83%D1%87%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%98-%D0%BA%D1%9A%D0%B8%D0%B3%D1%83/

Dakle, ovi rezultati s takmičenja su jednostavna potvrda toga šta sve može motivisana i inventivna učiteljica da postigne sa decom. 

[Джон Рейнольдс]

Тјах. Сад ће још да испадне да је мој цинични и суморни поглед на свет неоснован. 

[BladeRunner]

@

Bravo mac i Midoto. Ja sam ga isto riješio tako što sam napravio mrežu pravougaonika (odnosno jedan jaako visok pravougaonik). Zašto? Zato što se pokaže da zrak koji prolazi kroz dno (kad kažem dno mislim na AB) i udara u novi pravougaonik formira trougao podudaran sa onim koji formira zrak koji se odbija od dna i vraća nazad u pravougaonik po uslovu zadatka. Tako je onda ovaj problem ekvivalentan probleu da li će zrak ikada udariti u jedno od dva tjemena produženog pravougaonika, pri čemu ga nadograđujemo do kada hoćemo. Dakle, ako pravougaonik visine b nadogradimo k puta ispod osnovnog pravougaonika, da li će to ikada biti jednako a*n, jer ova linija koja ide "cik-cak" na stranicama pravougaonika formira udara u tačke koje formiraju niz dužina a+2a+2a sa lijeve strane pravougaonika, odnosno 2a+2a+2a... sa desne strane (zašto ovaj niz? Zato što su ovo dužine stranica koje se dobijaju primjenom Pitagorine teoreme na trouglove u pravougaoniku prije odbijanja o njegovo dno). Dalje je lako: bk=an isto kao i a/b=k/n, pri čemu je k/n racionalan broj (jer su k i n prirodni), ali a/b ne mora biti, jer su proizvoljni. I stvarno, ako je a/b iracionalno, zrak vječno udara u zidove pravougaonika (slučaj kada je, recimo, a korijen iz dva, a b jedan, jer korijen iz dva nije racionalan broj, kao što znamo iz Pitagorinog dokaza). Ako je a/b racionalno, kao što reče mac, udara, i to je lako izračunati i broj odbijanja. Svaka čast.

[Albedo 0]

Čestitam Maretu, treba se izboriti pored Karavukovaca

ali baš mi nije jasno to da roditelji prijavljuju djecu, otkad je to praksa, kad sam ja išao nastavnik je birao učesnike takmičenja, realno me nije ni pitao da li hoću da idem

[Hiperhik]

Такмичење су локално организовале саме школе, те се десило оно што сам некако и предвидео. Нпр, у Маретовој конкуренцији чак 12 деце освојило је максималан број бодова из неке школе из Каравукова. Е сад, можда је то Каравуково (Где је то? Кара-вуково - вуко-јебина, WTF?!? нашао сам, мало западно од Оџака) заиста расадник младих математичара, а можда им је неко решавао задатке.

Maretu čestitam, a ovo što sam citirao je potpuno odvratno, na mnogo (odvratnih) načina.

[Gaff]

The magic of Vedic math - Gaurav Tekriwal

[Джон Рейнольдс]

Маре вицешампион Србије. Прва награда, али један дечак испред њега за пола бода. Само су њих двојица освојили прве награде.

Маре пао на највећој могућој глупости, ладно није довољно прецизно прочитао најлакши задатак. Фалило му је једно просто 6-1 да га уради до краја.

[mac]

Svaka čast!

[zakk]

Bravo Mare!

[Albedo 0]

za sve je kriva Sagita, samo teške zadatke ste mu davali, nije se spremao za lake 

Čestitam!

[Meho Krljic]

Rispekat za Marea.

[Mme Chauchat]

Čestitamo!

[Джон Рейнольдс]

Хвала свима. Веома сам задовољан резултатом јер, колико год успех био, такође је и опомена. Скоро се уопште није спремао уз изјаву "пих, колико тешки задаци за други разред могу да буду". А солидно тешки задаци тражили су и исцрпна објашњења (укупно на три А4 странице), тако да му је концентрација пала до задатка 5д, последњег иначе. Вероватно је и тактика била лоша, требало је да уради сва решења, па онда напише образложења. Овако је предао у самом финишу и збрзао тај лак, последњи. Али добро, свака школа се плаћа. Прошле године није било ниједне прве награде; ове године, две. Две друге; ове године чак пет.

[дејан]

свака част!

[Dr00d]

http://www.wimp.com/germansuperbrain/

E tako se to radi 
(Osim ako nije fejk, sto me mrzi da guglam)

[Alexdelarge]

sinoć sam zakačio delić emisije na rubu znanosti posvećen vedskoj matematici. gost emisije je pokazao  neke fore&trikove kod računanja, koji su, pretpostavljam, matematistima ovdašnjim dobro poznati, ali mene su oduševili.

npr. kako lako sračunati 103x104

na prvi broj 103 dodati 4 , 103+4=107

i pomnožiti 3x4=12

u konačnom to je 10712

[Rasher]

sinoć sam zakačio delić emisije na rubu znanosti posvećen vedskoj matematici. gost emisije je pokazao  neke fore&trikove kod računanja, koji su, pretpostavljam, matematistima ovdašnjim dobro poznati, ali mene su oduševili.

npr. kako lako sračunati 103x104

na prvi broj 103 dodati 4 , 103+4=107

i pomnožiti 3x4=12

u konačnom to je 10712

To nije lakši način čim ima isti broj koraka kao i klasično množenje: 103x100, 103x4 i sabiranje ova dva proizvoda.
slicno kao ovo:
Simple graphical multiplication trick

Nije ništa drugo do grafička reprezentacija klasičnog množenja.

[Melkor]

http://mathwithbaddrawings.com/2013/06/16/ultimate-tic-tac-toe/

[Truman]

Imamo tri novčića i bacimo ih. Koja je verovatnoća da dva oda ta tri budu glava?

[Mouchette]

37,5%

[Truman]

na testu su opcije bile: 30, 50, 90 posto. Kako si došao do toga?

[Mouchette]

Svi mogući ishodi kod bacanja 3 kocke su PPP, PPG, PGP, PGG, GPP, GPG, GGP, GGG, pa je verovatnoća da padnu 2 glave 3/8 tj. 37,5%  (0,375). A o kakvom se testu radi?

[Tex Murphy]

Svi mogući ishodi kod bacanja 3 kocke su PPP, PPG, PGP, PGG, GPP, GPG, GGP, GGG, pa je verovatnoća da padnu 2 glave 3/8 tj. 37,5%  (0,375). A o kakvom se testu radi?

Очигледно - лошем! 

[Truman]

Svi mogući ishodi kod bacanja 3 kocke su PPP, PPG, PGP, PGG, GPP, GPG, GGP, GGG, pa je verovatnoća da padnu 2 glave 3/8 tj. 37,5%  (0,375). A o kakvom se testu radi?

Neki na netu, očito je fejk...

[Midoto]

na testu su opcije bile: 30, 50, 90 posto. Kako si došao do toga?

Onda su, verovatno, računali i onu kombinaciju GGG - gde su prisutne dve glave (mada je i treća). Iako je neprecizno pitanje, često ponuđeni odgovori upućuju kakva je zamisao.

[Truman]

492, 366, 189, 810,?
a) 1260
b) 675
c) 88
d) 1015

[mac]

88

[Truman]

objašnjenje?

[mac]

Ako je poslednji broj xyz to jest 100*x+10*y+z onda je sledeći broj 10*x*y+x+z

[Truman]

boles'

[Truman]

Pametnjakovići, šta mislite - može li iq da skoči rađenjem logičkih zadataka? Pazario sam zbirku zadataka ''Povećajte svoj iq'', izdavač Mladinska knjiga. Nadam se da bi mi to moglo pomoći pri rađenju testova za posao...

[mac]

Vežbom zadataka bićeš sve bolji u rešavanju zadataka. Ali IQ se ne svodi samo na rešavanje zadataka.

[Truman]

na šta se još svodi? IQ i inteligencija naravno nisu isto, ali generalno iq se meri preko tih zadataka.
Ma nije meni ni cilj da budem inteligentniji, samo hoću što bolje da odrađujem te testove.

[Albedo 0]

hoćeš da varaš, recimo? 

Ako je poslednji broj xyz to jest 100*x+10*y+z onda je sledeći broj 10*x*y+x+z

ok, to je formula, ali kako se dolazi do te formule?

[Truman]

Naravno da neću da varam. Ovo što ja radim nije varanje. To bi bilo kao kad bi rekao da varam u pokeru, jer čitam knjige o toj igri.

[Meho Krljic]

Ili da varaš u trčanju time što trčiš 

Ali, Trumane, mislim da si se ovde mudro postavio. Otkad domaći HR profesionalci smatraju da je IQ test značajan deo procesa regrutovanja nove radne snage, zaista je pametno malo vežbati te testove u slobodno vreme.

[Truman]

Ja lično smatram da su ti testovi irelevantni za uspeh u poslu, al ako oni tako kažu...ko će im se suprotstaviti...

[Albedo 0]

realno, ako ih uradiš dobro i nisu garancija za uspjeh

ali ako ih uradiš loše garancija su za neuspjeh 

[Truman]

za ovo prvo se slažem, za drugo ne znam. Al da me ne shvatite pogrešno- jednom kad sam radio dobro sam prošao.

[Albedo 0]

ljudi za koje iskreno smatram da su ispod prosjeka dobijali su na Mensinom testu oko 120 bodova

realno samo budale na kvadrat dobijaju ispod 100

tako da 120 u stvari ne znači gotovo ništa, ali 95 itekako znači

[mac]

Normalno je to što si primetio. Mensini testovi su baždareni za svetski prosek, ali prosek IQa u Srbiji je malo veći, pa se to na testu tako vidi. Uzgred, to što Srbi imaju malo veći prosek takođe ništa ne znači, jer statistički gledano pola država u svetu ima veći prosek od celog sveta.

[Meho Krljic]

Ma, da se razumemo, za HR je ovo samo lak način da uspostave donji kriterijum za kandidate a da ne moraju da sami osmisle ikakav relevantan test. Kako Bata reče

ako ih uradiš dobro i nisu garancija za uspjeh

ali ako ih uradiš loše garancija su za neuspjeh

[Truman]

Normalno je to što si primetio. Mensini testovi su baždareni za svetski prosek, ali prosek IQa u Srbiji je malo veći, pa se to na testu tako vidi. Uzgred, to što Srbi imaju malo veći prosek takođe ništa ne znači, jer statistički gledano pola država u svetu ima veći prosek od celog sveta.

Jesi li siguran da smo iznad proseka? Prema istraživanju onog Engleza kod nas je prosečan iq 89. Ne verujem da je baš toliko nizak, ali s druge strane odokativno posmatrano u Srbiji ima puno baš ograničenih ljudi ( zapravo, primitivnih, zatucanih i neobrazovanih - ne znam koliko je to u korelaciji sa iq-om ).