ZNAK SAGITE — više od fantastike — edicija, časopis, knjižara...

Ускоро ће осам и по и једва чека математичка такмичења за која се већ спрема, али то постоји тек од трећег разреда. Те задачиће већ кида, па су очекивања велика. Зато нам ова тема добро дође јер проберемо неке задатке с којима може да се избори, мада му јесу тешки. Однеће сутра ова два у школу да се пува и он ко тата на форуму. 

Quote from: Джон Рейнольдс on 11-02-2013, 02:06:22
Ускоро ће осам и по и једва чека математичка такмичења...

Kako je "multiple choice" kad je pitanje samo sročeno tako da ima samo jedan odgovor?

Multiple choice je termin koji objašnjava da na pitanje na ispitu/ testu ne moraš sam da formulišeš odgovor već samo da izabereš jedan od ponuđenih.

Dobar je vic, mada mislim da poslednjih godina to više ne važi.

Vidim da nikome nije zabavan onaj zadatak sa četiri tačke (jedno od rešenja je kvadrat: jedna razdaljina je dužina stranice, druga je dijagonala). Evo vam onda nešto zabavnije (čula sam ga prošle godine od klinaca):

Biolozi vole da misle za sebe da su i hemičari; hemičari misle da su i fizičari. Fizičari misle da su bogovi, a Bog misli da je matematičar.

Midoto, lep je taj zadatak sa tačkama. Treba naći ćetvorouglove sa npr. 4 jednake stranice i dve jednake dijagonale (kvadrat), 4 stranice+jednom dijagonalom, a druga je različita (romb sa 60^o) itd. Ima tu raznih mogućnosti, treba pobrojati sve (čak i u prostoru).
Za malog Mareta je ovo ipak teško.

Извињавам се, заборавио сам на задатак с тачкама (притисо посо, јбг). Позвао сам Марета и скоро као из топа је рекао - квадрат. Рекао сам му да покуша да нацрта Мушетин ромб и - гле стварно!    Нисам сигуран ни да бих се ја тога сетио без мало жврљања по папиру. Али добро, и квадрат се рачуна.

Nešto mi se javlja da će Mare vrlo brzo početi da postavlja zadatke nama 

Ево Маретовог задатка, извињавам се ако је овде био.

Како торту у три праволинијска реза исећи на осам делова?

Quote from: Джон Рейнольдс on 15-02-2013, 14:18:43
Ево Маретовог задатка, извињавам се ако је овде био.

Како торту у три праволинијска реза исећи на осам делова?

isečeš tortu na pola jednim rezom, zatim na četvrtine drugim, a onda je horizontalno prepoloviš trećim rezom?

Тачно.

едит: Плус Мидото на ПП. Мораћемо да смислимо нешто теже. 

dobro, ovo je više "out of the box" razmišljanje nego matematika, ali nije loše.

evo ti za Mareta jedan sličan zadatak:

treba sa četiri prave linije da spoji sve tačke (stavići x umesto tačke, zbog vidljivosti)

x     x     x

x     x     x

x     x     x

ne znam kako će ispasti, ali spoljašnji x-evi čine kvadrat, i svaki x sa svoja susedna tri x čini manji kvadrat.

Mare je majstor.
@Mouchette: vidiš da je rešavao zadatak s tačkama    Ti daroviti klinci umeju da iznenade. I ovaj poslednji zadatak je lep.

Evo vam težak (Mare ima iksiće, neće da se ljuti):

Imamo kompoziciju od deset vagona i svaki vagon prenosi zlatnike. U nekim vagonima su lažnjaci, ali ne znamo u kojima, niti kolika je masa lažnog zlatnika. Znamo da su svi pravi zlatnici međusobno iste mase, da su svi lažni takođe međusobno iste mase, ali različite od mase pravog zlatnika. Ako imamo digitalnu vagu i možemo iz bilo kog vagona da uzmemo koliko nam je potrebno zlatnika - u koliko najmanje merenja možemo otkriti masu lažnog i u kojim vagonima se oni nalaze?

Задао сам ово Томатово Марету пре извесног времена, није успео да реши сам. Али решење сада зна. Нека се занимају други, мада је то познат задатак.

Možda je u formulaciju trebalo ubaciti da linije smeju da se seku - verovatno bi rešio sam.

Midoto, taj zadatak sa novčićima sam prvi put čula pre mnogo godina, na fakultetu. Profesor ga je postavio na pauzi predavanja, da nas zabavi (kad sam ga rešila pomislio je da sam rešenje znala odranije). Lep zadatak.
A onaj sa tortom je o.d.l.i.č.a.n.  Nisam ga znala.

Quote from: Midoto on 15-02-2013, 14:44:24
Imamo kompoziciju od deset vagona i svaki vagon prenosi zlatnike. U nekim vagonima su lažnjaci, ali ne znamo u kojima, niti kolika je masa lažnog zlatnika. Znamo da su svi pravi zlatnici međusobno iste mase, da su svi lažni takođe međusobno iste mase, ali različite od mase pravog zlatnika. Ako imamo digitalnu vagu i možemo iz bilo kog vagona da uzmemo koliko nam je potrebno zlatnika - u koliko najmanje merenja možemo otkriti masu lažnog i u kojim vagonima se oni nalaze?

Ceo vagon lažnjaci ili je mešano?

Svaki vagon prenosi jednu vrstu zlatnika - prave ili lažne. I ne mora da bude samo jedan sa lažnjacima - može da ih bude više. Treba da otkrijemo tačno - koji su sa lažnjacima i kolika je masa neispravnog zlatnika. Zapravo treba dokazati da je to moguće u dva merenja, a jedno nije dovoljno (sem u slučaju da svi vagoni nose ispravne zlatnike).

Izvinjavam se, ne znam jesam li naglasila: masa ispravnog zlatnika nam je poznata.

Ovo je opet nešto binarno...

Zadatak koji ja znam glasi:
U deset kutija imamo po deset zlatnika. U jednoj kutiji su zlatnici lažni. Svi pravi zlatnici su iste težine, lažni su 1g lakši. Možemo da obavimo samo jedno merenje na (digitalnoj) vagi. Treba otkriti u kojoj su kutiji lažni zlatnici. Kako?

Quote from: Mouchette on 15-02-2013, 17:11:58
Zadatak koji ja znam glasi:
U deset kutija imamo po deset zlatnika. U jednoj kutiji su zlatnici lažni. Svi pravi zlatnici su iste težine, lažni su 1g lakši. Možemo da obavimo samo jedno merenje na (digitalnoj) vagi. Treba otkriti u kojoj su kutiji lažni zlatnici. Kako?

Znam taj o kome pričaš. Ovaj što sam vam dala me je mučio dva dana (uslovno, umalo opet da strada ručak). I malo je zafrknut bez papira i olovke.

Mac je delimično u pravu - može i nešto binarno. I ja sam radila tako, jer je najjednostavnije.

Zar taj zadatak nije na jednoj od prethodnih strana topika? Odnosno, sigurna sam da jeste...

Nije, ovo je teško. Znaš samo koliko teži pravi zlatnik, a ne znaš koliko teži lažni, niti u kojim se sve vagonima nalazi. Lupam glavu, ali ne znam kako da u drugom merenju utvrdim težinu lažnog zlatnika.

Quote from: smp on 25-06-2012, 15:12:07
U deset kovčega bilo je u svakom po deset zlatnika.
U svim kovčezima bili su zlatnici od po 10 grama, osim u jednom gde su svi zlatnici bili od po 9 grama.
Imate vagu i treba samo jednim jedinim merenjem da ustanovite u kom su kovčegu lakši zlatnici.

Evo ga, znala sam da ga ima!!! Kasnije kreću ponuđena rešenja

Nije isto, zato što se zna da je samo u jednom kovčegu lakše zlato, i to tačno se zna težina lakšeg zlatnika. Ovde se ne zna u kojim vagonima je fejk zlato (može nijedan, može svi), niti se zna težina fejk zlata.

Meni pada na pamet ova ideja: da uzimamo iz svakog vagona po 2, 3, 7, 11, 17...  zlatnika (tako da brojevi budu prosti i da nisu zbir prethodnih prostih brojeva). Na osnovu razlike očekivane težine i izmerene možemo tačno znati iz kog je vagona i kolika je težina lažnog.
Da, vidim da nije ok.

Quote from: mac on 15-02-2013, 18:24:20
Nije isto, zato što se zna da je samo u jednom kovčegu lakše zlato, i to tačno se zna težina lakšeg zlatnika. Ovde se ne zna u kojim vagonima je fejk zlato (može nijedan, može svi), niti se zna težina fejk zlata.

Ah matematika...

Mouchette, uzmimo da ti je to prvo merenje i dobila si, napr, odstupanje u ukupnoj masi – 5g. Kojim brojem treba da deliš? (Uzgred, uvek me fascinira tvoje netipično rešenje.)

To je slično onome što je Mac predložio – uzimamo redom stepene broja 2 (može i ma kog drugog prirodnog broja): iz prvog 1, iz drugog 2, pa 4,...
Samo, meni je ovo drugo merenje.

@Jevtropijevićka: vrlo čvrsto sam uverena da ljudi koji su i inače logični - samo nisu imali učitelje koji su na dobar način pristupili matematici.

Ma, nije do učitelja već do učenice... ja sam u osnovnoj i srednjoj školi matematiku baš volela i imala iz nje mnogo bolje ocene (4-5) nego iz hemije i fizike, bila mi je mnogo razumljivija i, jelte, logična, ali sam je potpuno i bez ostatka zabatalila čim sam maturirala, i - sad kad god svratim na ovaj topik, osećam se kao da sam zaboravila plivanje.

Quote from: Midoto on 15-02-2013, 19:15:35
Mouchette, uzmimo da ti je to prvo merenje i dobila si, napr, odstupanje u ukupnoj masi – 5g. Kojim brojem treba da deliš? (Uzgred, uvek me fascinira tvoje netipično rešenje.)

Ako znamo težine pravog i lažnog, onda nije problem. Tj da je 10/9g onda 5g manjka znači pet zlatnika, dakle iz petog vagona, ako smo uzeli iz prvog 1, iz drugog 2, itd...

Tj da smo uzimali prost broj ili stepen dvojke i razlika u težini bi morala da prati tu progresiju.

Al ako ne znamo težinu lažnog, stvarno, šta onda?

Ja sam u prvom merenju uzela iz svakog vagona po jedan zlatnik ili "zlatnik" i dobila neko odstupanje u težini. U drugom merenju sam uzimala stepene dvojke, da ne bi došlo do zabune  (da Mušet nije postavila onaj uslov o prostim brojevima koji nisu zbir prethodnih, možda bi bila varijanta da je neki od tih prostih brojeva jednak zbiru nekih 5 ili 6 prethodnih).
Imamo jednoznačno rešenje.
Na primeru 3 vagona: ako pretpostavimo da samo jedan vagon nosi lažnjake - vidimo da li je razlika "ispravne" i izmerene mase daje odgovarajući rezultat pri deljenju sa 1, sa 2 ili sa 4. Ukoliko to nije slučaj, možda je u prvom i drugom, prvom i trećem ili dugom i trećem... U svakom slučaju, bitno je da ne mogu dobiti dva moguća rešenja, već samo jedno. Sa deset je isto to - samo zamršenije. E sad, kako bih dokazala da je nemoguće iz jednog merenja - nemam pojma.

Zadatak za treći razred osnovne (to valjda odgovara po planu i programu srbijanskom drugom razredu):

Jedno jato lasta
leti iznad hrasta,
drugo iznad smreke.
treće iznad reke.
Najveće je jato treće,
od prvog je dvaput veće,
a drugo je, reče Mira
polovina njihova zbira.
Sva tri jata,
šapnu Nata,
90 ima lasta.


Koliko lasta ima u kom jatu? Kako to riješiti a da tako mali klinci to razumiju? Zadatak se lako riješi preko jednačine x + 3x/2 + 2x = 90, ali em tu ima previše iksova za tako malu dječicu, em imamo čak i razlomak! Ne pada mi na pamet nikakvo elegantno i jednostavno rješenje.

Ako je drugo jato polovina zbira prvog i trećeg to je isto kao da si rekao da je zbir prvog i trećeg dva puta veći od drugog. Sva tri jata u zbiru su velika kao trostruko drugo jato (drugo jato plus dvostruko drugo jato). 90 = 3 puta drugo jato, pa je drugo jato 30 lasta. Postupak se ponavlja sa preostalih 60 lasta i dva jata, jer je opet jedan deo dva puta veći od drugog. U 60 lasta imamo trostuko prvo jato, to jest u prvo jatu ima 20, a u trećem preostalih 40 lasta.

Da, da, ovo što predlaže mac - da drugo jato bude nepoznato, pa sve onda ide preko celih brojeva.
Ygg, moraš da zadaš nešto teže za Mareta 

Hvala i mac-u i Maretu! Proslijedio sam rješenja. A evo za Mareta nešto dosta teže (autor je Luis Kerol):

Ako jedna čaša limunade, 3 sendviča i 7 piškota staju 1 šiling i 2 penija, a jedna čaša limunade, 4 sendviča i 10 piškota 1 šiling i 5 penija, nađi koliko staju:
(a) jedna čaša limunade, sendvič i piškota;
(b) 2 čaše limunade, 3 sendviča i 5 piškota.

Napomena: 1 (tadašnji) šiling ima 12 penija!

Lep zadatak. Možda će biti pretežak za Mareta, ali je interesantan i za starije.
Evo jedne šaljive pitalice za klince:
Riddle #281 - How Many Mice?

Evo još nekih zabavnih zadačića za decu svih uzrasta.
Ako se nekom dopadnu mozgalice ovog tipa, ovde je i torent za  Plastelina Logic Games

Quote from: tomat on 15-02-2013, 14:39:34
evo ti za Mareta jedan sličan zadatak:

treba sa četiri prave linije da spoji sve tačke (stavići x umesto tačke, zbog vidljivosti)

x     x     x

x     x     x

x     x     x

ne znam kako će ispasti, ali spoljašnji x-evi čine kvadrat, i svaki x sa svoja susedna tri x čini manji kvadrat.

Quote from: Джон Рейнольдс on 15-02-2013, 14:46:36
Задао сам ово Томатово Марету пре извесног времена, није успео да реши сам.
Али решење сада зна. Нека се занимају други, мада је то познат задатак.

Realno, jeste poznat zadatak. Al ja nisam znao vise od jednog resenja.





A nikad mi nije palo na pamet resenje sa 3 linije.

Ако су стварно у питању тачке (а не кругови), ово рјешење са три линије није добро.

ovo je zadatak za ''out of box'' razmišljanje, svojevremeno kad sam prvi put naišao na njega nisam uspeo da ga rešim. A ovo poslednje rešenje nije dobro. Gornja horizontalna linija je prava, a ne kosa.

Quote from: Слободан Павле on 28-02-2013, 16:32:01
Ако су стварно у питању тачке (а не кругови), ово рјешење са три линије није добро.

Svakako.

Quote from: Truman on 28-02-2013, 16:33:01
ovo je zadatak za ''out of box'' razmišljanje

Da, tako nekako je pisalo u jednom mom udzbeniku. I bili su krugovi.

zato ja i nisam umeo da ga uradim.

Quote from: Truman on 28-02-2013, 18:10:01
zato ja i nisam umeo da ga uradim.

Izmice mi... zasto?

Quote from: Boris on 28-02-2013, 00:04:50
Realno, jeste poznat zadatak. Al ja nisam znao vise od jednog resenja.

prva dva rešenja su suštinski jednaka, a treće - what Harvi said.

Quote from: Karl Rosman on 28-02-2013, 18:32:45

Quote from: Truman on 28-02-2013, 18:10:01
zato ja i nisam umeo da ga uradim.

Izmice mi... zasto?

aj pogodi...

bio si u kutiji?

I dalje sam izgleda.

Quote from: Truman on 28-02-2013, 19:36:52

Quote from: Karl Rosman on 28-02-2013, 18:32:45

Quote from: Truman on 28-02-2013, 18:10:01
zato ja i nisam umeo da ga uradim.

Izmice mi... zasto?

aj pogodi...

Ne umem... 

Aj, junaci da vidim kakvo ste znanje poneli sa sobom osmogodišnje škole. Neki novi (genijalni) izdavač misli da je u redu da ovakav zadatak metne u zbirku osmog razreda.

Automobil ide iz tačke A u tačku B, kreće se brzinom 60 km/h. Iz tačke B vraća se u tačku A brzinom 80km/h. Koja je prosečna brzina kretanja automobila?