Testirajmo Ghoulovo znanje matematike!

[Mouchette]

I opet: da, mac je u pravu! Radi se o sijamskim blizancima.

P.S. A kad je Midoto već tu, jedno pitanje vezano za njen zadatak: da li zapisivanje brojeva ide tako da zapisuju jedan po jedan, a ostali vide šta je on zapisao?

[Midoto]

Hoću i ja pohvalu!
Nisam pročitala diskusiju pre nego što sam dala šansu traženju rešenja

Dodatak: tek maločas sam otkrila pitalicu.

[Mouchette]

Dodatak: pohvala za Midoto 

[Midoto]

Hvala.

[Ygg]

Ala ste se raspisali!

Žao mi je što sam propustio priliku da odgovaram na pitalice. Možda ne bi bilo loše da odgovore pišete tako da se ne vide dok se mišem ne skroluje preko teksta, pa da i mi koji kasnije vidimo zadatke razmišljamo malo o njima prije nego što pogledamo odgovore. Teško je ne vidjeti odgovor, kada se nalazi odmah ispod zadatka.

I samo nastavite sa zanimljivim zadacima i pitalicama, jer materijala za dodatnu nikad dosta!

Ygg, vole li tvoji učenici ovakve mozgalice?

Imam samo dvoje učenika koji redovno dolaze na dodatnu. Još nekoliko njih navrati ponekad, ali ne redovno. Ovih dvoje vole, i uglavnom oni meni postavljaju zadatke, a ne ja njima. Ova starija je danas zadatak sa pravama i tačkama riješila za nekih 20 sekundi. A za dokaz neke uslovne nejednakosti za koji je meni trebalo dobrih 45 minuta (zadatak sam rješavao za ovog mlađeg učenika), ona je potrošila možda dva minuta i njeno rješenje je elegantnije od moga.

[Midoto]

Ovih dvoje vole, i uglavnom oni meni postavljaju zadatke, a ne ja njima. Ova starija je danas zadatak sa pravama i tačkama riješila za nekih 20 sekundi. A za dokaz neke uslovne nejednakosti za koji je meni trebalo dobrih 45 minuta (zadatak sam rješavao za ovog mlađeg učenika), ona je potrošila možda dva minuta i njeno rješenje je elegantnije od moga.

Blago tebi! Nema optimističnije stvari nego kad vidiš da mladi mozgovi tako dobro rade.

Zar se nikome ne dopada zadatak sa zatvorenicima i brojevima, pa nema ni naznake rešavanja?

[Mouchette]

Meni nije baš najjasnije kako se obavlja zapisivanje brojeva (verovatno nisi videla da sam gore isto to pitala). Da li zapisivanje brojeva ide tako da zapisuju jedan po jedan i da li ostali vide šta je ko zapisao?

[Midoto]

Uf, izvini, stvarno nisam videla (morala sam da se cenjkam oko pohvale). Evo ovako: napravili su plan; svi su videli brojeve na leđima preostalih zatvorenika; svi zapišu broj za koji misle da imaju na svojim leđima; na osnovu čiste matematičke strategije - ispune uslov za nagradu.

[mac]

Znači svi zapisuju istovremeno? Ne može jedan zatvorenik da čeka da drugi završi svoje zapisivanje?

[Mouchette]

Da, i mene interesuje baš ovo što pita mac (onda se mogu dogovoriti da zapisuju, recimo, najmanji broj koji vide, ili tome slično, pa da svaki naredni ima tu informaciju).

[Ygg]

Zadatak nema smisla ako vide ko šta zapisauje, jer bi onda strategija bila jednostavna: dogovore se da prvi zapiše broj koji vidi na leđima npr. desetog, i onda deseti zna koji je njegov broj.

[Midoto]

Tačno - nema varanja.
Mali hint: na osnovu njihove strategije, tačno jedan će biti u pravu.

Hoću da kažem: mogu svi istovremeno da napišu svoj broj, ako jednakom brzinom računaju.

[mac]

Midoto je odgovorila, pa sad treba porazmisliti, ali ja bih samo da napomenem da sam pitao samo za redosled zapisivanja, ali ne i da je potonji zatvorenik video šta je prethodni zapisao.

Uzgred, meni se ovaj zadatak "javlja" iz neke Galaksije, ali to mi ništa ne pomaže u vezi sa rešenjem.

[Midoto]

U originalnom zadatku je 100 zatvorenika. Istini za volju, meni je sin (1. gimnazije) objasnio kako je rešio. Pomoglo mi je tek kada sam problem svela na 3 zatvorenika, a pod istim uslovima: imaju nalepnice sa nekim od brojeva iz skupa od 1 do 3.

[Ygg]

Stražar ujutru okupi deset zatvorenika i na leđa im zalepi jedan od brojeva iz skupa od 1 do 10. Neki zatvorenici mogu imati i isti broj na leđima, jer stražar ima po 10 komada od svakog broja, pa nasumično stavlja nalepnicu, a mogu imati i svi različite. Tek - svaki zatvorenik ima na leđima jedu nalepnicu i svaki može da vidi ostalih devet, pa da (bez ikakvog domunđavanja, znakova ili sličnih prevarica) zapiše broj od 1 do 10, za koji misli da je na njegovim leđima. Ako bar jedan zatvorenik pogodi broj - svi bivaju nagrađeni. Ako svi promaše - svi će biti kažnjeni. Elem, zatvorenici naprave strategiju (matematičku) zahvaljujući kojoj svakodnevno dobijaju nagrade. Kakva im je strategija?

Ja ne uspjevam da riješim ovaj zadatak!

Zatvorenici dobijaju brojeve koji su nezavisni jedni od drugih, jer stražar ima po 10 naljepnica sa svakim brojem i stavlja ih nasumično, tako da ne vidim kakvu strategiju oni mogu da imaju. Eventualno bi mogli da koriste vjerovatnoću, npr. ako jedan zatvorenik vidi na ostalim zatvorenicima 3 šestice i 5 dvojki, onda može da zaključi da je veća vjerovatnoća da on na leđima ima šesticu nego da ima dvojku, a još veća vjerovatnoća je da na leđima ima broj koji niko od preostalih zatvorenika nema. Ali teško da tako mogu da naprave strategiju pomoću koje jedan od njih sigurno pogađa svoj broj.



Usput, evo najtežeg logičkog problema na svijetu!

[Midoto]

@Ygg: Obrazlažem na primeru 3 zatvorenika. Neka njih trojica imaju na sebi brojeve a, b i c (ne nužno međusobno različite). Zbir ta 3 broja može biti, po modulu 3 (deca mogu da ukapiraju i preko ostataka pri deljenju sa 3): 0, 1 ili 2.  Zatvorenici se dogovore za redosled: prvi se ponaša kao da ukupan zbir treba da bude 0 po modulu 3; drugi kao da je 1; treći da je 2 po modulu 3. Jedan od njih mora biti u pravu, a ostali greše. Dakle, ako prvi vidi brojeve b i c, on zapiše broj x koji zadovoljava uslov x + a + b = 3k. Drugi vidi a i c, pa zapisuje broj y koji zadovoljava uslov y + a + c = 3k +1. Za trećeg - po istom principu. Dakle, tačno jedan od njih je u pravu. Kada je 10 ili 100 zatvorenika - isto to, samo po modulu 10 ili 100.
Lep, jel da?

Sad ću da razmatram ovaj tvoj problem, baš mi se dopao.

[Midoto]

Ubi me zadatak, uporno mi fali četvrto pitanje, zbog one loše mace koja nasumično govori istinu i laž. Ima li neko rešenje (nemojte odmah da stavite ako imate, dajte još dan fore)?

[Ygg]

@Ygg: Obrazlažem na primeru 3 zatvorenika. Neka njih trojica imaju na sebi brojeve a, b i c (ne nužno međusobno različite). Zbir ta 3 broja može biti, po modulu 3 (deca mogu da ukapiraju i preko ostataka pri deljenju sa 3): 0, 1 ili 2.  Zatvorenici se dogovore za redosled: prvi se ponaša kao da ukupan zbir treba da bude 0 po modulu 3; drugi kao da je 1; treći da je 2 po modulu 3. Jedan od njih mora biti u pravu, a ostali greše. Dakle, ako prvi vidi brojeve b i c, on zapiše broj x koji zadovoljava uslov x + a + b = 3k. Drugi vidi a i c, pa zapisuje broj y koji zadovoljava uslov y + a + c = 3k +1. Za trećeg - po istom principu. Dakle, tačno jedan od njih je u pravu. Kada je 10 ili 100 zatvorenika - isto to, samo po modulu 10 ili 100.
Lep, jel da?

Dovraga! Čak mi je u jednom momentu palo na pamet da gledam zbirove po modulu. Razmišljao sam da, ako imamo 10 zatvorenika, zbirovi njihovih brojeva mogu uzimati vrijednosti od 10 do 100, pa sam onda "zaključio" da zbir po modulu 10 ne određuje jedinstveno rješenje. 

Ubi me zadatak, uporno mi fali četvrto pitanje, zbog one loše mace koja nasumično govori istinu i laž. Ima li neko rešenje (nemojte odmah da stavite ako imate, dajte još dan fore)?

Ovaj zadatak je dovoljno poznat da ima i svoj članak na Vikipediji. U originalu nisu mace, već bogovi:

Three gods A, B, and C are called, in no particular order, True, False, and Random. True always speaks truly, False always speaks falsely, but whether Random speaks truly or falsely is a completely random matter. Your task is to determine the identities of A, B, and C by asking three yes-no questions; each question must be put to exactly one god. The gods understand English, but will answer all questions in their own language, in which the words for yes and no are da and ja, in some order. You do not know which word means which.

A autor je dao i dodatna pojašnjenja:

       - It could be that some god gets asked more than one question (and hence that some god is not asked any question at all).
       - What the second question is, and to which god it is put, may depend on the answer to the first question. (And of course similarly for the third question.)
       - Whether Random speaks truly or not should be thought of as depending on the flip of a coin hidden in his brain: if the coin comes down heads, he speaks truly; if tails, falsely.

[Midoto]

Ma ja posebno volim ovakve zadatke, ali ako ga danas ne rešim, moraću da pročitam rešenje. Trpe ostale moje obaveze - juče mi je zagoreo spanać dok sam raspisivala jedan slučaj s različitim odgovorima. O pisanju da ne govorim. Inače - ovo je upravo zadatak koji ne traži matematičko znanje, već samo razmišljanje. Izuzetno je lep.

[Mouchette]

Ovaj zadatak koji je Ygg postavio znam odranije (ima i nekoliko sličnih varijacija ovog problema). Međutim, rešenje zadatka sa zatvorenicima koje je Midoto dala je super! Pomislila sam i ja u jednom trenutku na zbirove po modulu, ali sam ih isto kao i Ygg odbacila. Tek sada vidim da oni, iako idu od 10 do 100, imaju u stvari relativan 'raspon'  10 (u odnosu na ono što zatvorenici vide pojedinačno). Lep zadatak. Red je da se sad Midoto pomuči sa LOLgičkom zavrzlamom.
U to ime evo jednog zanimljivog rasuđivanja:
lim_c→0⁡  (sec⁡ x /c² )  =  lim _c→0 (se⁡x/c) = beskonačan seks   

[Midoto]

Ovo je suviše apstraktno.

[Mouchette]

Ovo je suviše apstraktno.

Aha! I još moraš biti glup da bi do njega došao

[Midoto]

I uz skraćivanje.

[Mouchette]

I uz skraćivanje na pogrešnom mestu.

Nema veze, neka drugi misle da se OVO može nazvati beskonačnim seksom. Mi znamo šta je tačno 

[Midoto]

Pa uz skraćivanja na pravim mestima nikada ne bi došao do takvog rezultata.
Zaključak: mora se biti glup, (u)skraćen na pogrešnom mestu, sklon apstraktnom razmišljanju... Nemoguća kombinacija.

[Mouchette]

Da, nemoguća kombinacija 
Sad će neko pametan da primeti kako grešimo što uopšte potežemo matematiku. Zadovoljstvo i matematika su za mnoge disjunktni.

[Ygg]

Ma ja posebno volim ovakve zadatke, ali ako ga danas ne rešim, moraću da pročitam rešenje. Trpe ostale moje obaveze - juče mi je zagoreo spanać dok sam raspisivala jedan slučaj s različitim odgovorima. O pisanju da ne govorim. Inače - ovo je upravo zadatak koji ne traži matematičko znanje, već samo razmišljanje. Izuzetno je lep.

Sad ću imati grižu savjest kad god okačim neki problem na ovaj topik!



Elem, evo detaljno objašnjenog rješenja na Vikipediji: http://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever

Ukratko, pitanja su sljedeća:

Q1: Ask god B, "If I asked you 'Is A Random?', would you say ja?". If B answers ja, either B is Random (and is answering randomly), or B is not Random and the answer indicates that A is indeed Random. Either way, C is not Random. If B answers da, either B is Random (and is answering randomly), or B is not Random and the answer indicates that A is not Random. Either way, you know the identity of a god who is not Random.

Q2: Go to the god who was identified as not being Random by the previous question (either A or C), and ask him: "If I asked you 'Are you False?', would you say ja?". Since he is not Random, an answer of da indicates that he is True and an answer of ja indicates that he is False.

Q3: Ask the same god the question: "If I asked you 'Is B Random?', would you say ja?". If the answer is ja, B is Random; if the answer is da, the god you have not yet spoken to is Random. The remaining god can be identified by elimination.

[Midoto]

Hvala, ja sam morala da pogledam rešenje ranije. Čak sam i koristila tu caku: Kada bih te pitala - šta bi mi ti odgovorila - ali nisam izgurala do kraja.
I samo daj još takvih zadataka! Dok ne rešim zadatak, stvarno pravim razne brljotine, ali kad ga rešim (ili pročitam rešenje, što pruža nešto manje radosti) kao da mi se malo pročisti i sredi mozak, pa sve što radim bude za nijansu bolje od uobičajenog. Mislim da matematika dovodi misli na pravo mesto: u tome je štos.

[Tex Murphy]

Ево вам један задачић и од мене. Мене је прилично напатио, али видјевши какве заврзламе овде рјешавате, ово ће вам бити пиеце оф цаке.
Имате пет гусара који треба да подијеле плијен од 100 златника. Гусари су стриктно хијерархијски поредани - означимо их рецимо са А, Б, Ц, Д, Е, гдје је А капетан, Б рецимо први официр, Ц други официр итд.
Подјела функционише на сљедећи начин: Капетан предлаже како да се подијели лова и онда се гласа о приједлогу (гласају сви, укључујући и оног ко предлаже). Ако буде 50% или више гласова за, приједлог се усваја и лова се распоређује како је предложено. Ако више од пола гусара гласа против, капетан се шаље на ход по дасци, а лова се распоређује између осталих гусара (Б, Ц, Д и Е), при чему сљедећи приједлог даје први официр (Б). Процедура се понавља - дакле, приједлог, гласање, ако има пола гласова за, усваја се, ако не, опет ход по дасци и расподјела међу преостала три гусара итд.
Гусари се строго придржавају сљедећих правила:
1) Први приоритет је да преживљавање (дакле подразумијева се да нико неће дати такав приједлог расподјеле који би други због својих интереса одбили)
2) Други приоритет је да се добије што је могуће више новца (дакле, примјера ради, ако онај ко предлаже расподјелу може да прође и са, рецимо, 56 и са 57 златника, предложиће расподјелу у којој добија 57. Слично важи и за гласање - сваки гусар ће да одбије приједлог расподјеле ако би смрт предлагача и смањивање броја гусара довели до тога да он добије више новца)
3) Ако је гусару свеједно да ли приједлог пропада или пролази (тј. ако у оба случаја добија исту количину новца), гласаће тако да предлагача пошаље у смрт.
Питање гласи - колико новца ће да припадне капетану (дакле гусару А)?

[mac]

Imam utisak da prva četvorica ne dobijaju ništa, ali bar zadržavaju svoje živote. Ali verovatno nije to rešenje.

[Tex Murphy]

Није, одговор је заправо прилично неочекиван (да не кажем суманут).

[mac]

Peti gusar će uvek da glasa protiv, s ciljem da dobije što više, koliko god da je to. Četvrti gusar ne sme da dozvoli da preostanu samo dva (jer će poginuti šta god da predloži), pa će da glasa za bilo šta što predloži treći gusar. Međutim to nije dovoljno, jer i dalje ima 50% glasova protiv, što znači da ni treći gusar ne sme da dozvoli da on predlaže podelu, pa će da glasa za bilo šta što predloži drugi gusar. Drugi gusar ne mora da se plaši za svoj život jer ga "čuvaju" treći i četvrti, i zato može da glasa protiv bilo čega što prvi gusar predloži. Pošto svi to znaju i pošto svi znaju da poslednja tri gusara neće dobiti ni cvonjka bilo šta što prvi gusar predloži biće jednoglasno odbijeno. Prvi gusar ne dobija ništa, i pritom gubi život, a drugi gusar dobija sve.

[Lord Kufer]

Znači, drugi gusar je predložio ovakvu raspodelu, a to bi i trebalo da bude pitanje: koji od njih petorice smišlja ovakav zadatak i nameće ga drugima 

[mac]

A ne, čekaj, sve mi je pogrešno. Mislio sam da onaj ko predlaže ne glasa, ali glasa i on. Hm, nazad u laboratoriju.

[Midoto]

Srednji gusar ma šte da predloži, poslednji mora da usvoji, jer ako ih ostanu dvojica - nema više od pola glasova protiv. Dakle, ako bi treći predložio raspodelu: 99, 0, 1 - poslednji bi se složio, jer je to više nego što bi mu sledovalo na kraju. Po istom kriterijumu, ako drugi gusar predloži: 97, 0, 1, 2 - svi bi trebalo da prihvate (sem trećeg), dakle, kapetan treba da odobrovolji poslednju dvojicu, da drugog i trećeg eliminiše, pa da predloži:
A: 95
B: 0
C: 0
D: 2
E: 3.
Je li to rešenje?

[Mouchette]

Eh,  ja ne razumem  Šta ako kapetan za sebe predloži 48, za dvojicu po 26, a za dvojicu 0? Onda će njih trojica da prihvate predlog, podeliće 100 zlatnika i... šta onda?
eh, da, ulete Midoto. Traži se, dakle, koliko najviše može da uzme A?

[Midoto]

Mislim da kapetan gleda što više da isposluje za sebe.

[Midoto]

Ja ne vidim "rupu" u ovom rešenju. Kako vama izgleda?

Vidim - mora da bude više od pola protiv. Znači, četvrti može da predloži: 98, 0, 0, 2 i da već ima dva glasa. Onda bi kapetan mogao da da ovakvu raspodelu:
96, 0, 0, 1, 3 i da dobije 3 glasa, jer su poslednja dvojica "profitirala".

[mac]

Okej, ako preostane dvojica onda peti uvek glasa protiv, a četvrti umire. Ako preostane trojica onda četvrti uvek glasa za i bar zadržava život, a treći dobija sve. Ako preostane četvorica onda drugi mora da obezbedi još dva glasa da bi preživeo, a to su četvrti i peti, jer treći uvek glasa protiv da bi dobio sve. To znači da ako preostanu četvorica drugi ima 98 zlatnika, četvrti i peti imaju po jedan zlatnik, a treći ne dobija ništa.

Prvi za većinu mora obezbedi isto dva glasa, i ta dva glasa mora da kupi dajući više nego što bi odgovarajući ljudi dobili u slučaju da preostane četvorica. Treći je najjeftiniji, i košta 1 zlatnik, što je više od nula. Dva zlatnika treba dati ili četvrtom, ili petom (svejedno je), što znači da prvi dobija 97 zlatnika sa 60% glasova.

[Midoto]

Ovo je ko razgovor gluvih telefona, stalno primetim nešto tek kada sam poslala.
Mac, mora biti više od 50% protiv da bi se predlog odbacio. Znači - kod poslednje dvojice odlučuje pretposlednji.

[mac]

Ufff...

[Mouchette]

Da, kad ostanu dvojica, D uvek može da računa na svih 100 zlatnika, pa će on uvek glasati protiv svakog drugačijeg perdloga, zato D još u početku ne mora dobiti ništa (rekoh D a ne D.)
A onda C može biti zadovoljan sa podelom 99+0+1 (ako ostanu trojica).

[mac]

Mrzi me više da pišem... Ako preostane četvorica onda drugi potkupljuje četvrtog jednim zlatnikom, jer ako odbije onda ne dobija ništa, jer će treći potkupiti petog s jednim zlatnikom. Treći i peti u tom slučaju dakle ne dobijaju ništa. Prvi može da ih kupi sa po jednim zlatnikom, što znači da zadržava 98 zlatnika.

[Mouchette]

Dalje, B može proći sa podelom 98+0+0+2
A onda A ne može proći ni na koji način.

[Midoto]

@mac:Zaboravio si treći uslov:

3) Ако је гусару свеједно да ли приједлог пропада или пролази (тј. ако у оба случаја добија исту количину новца), гласаће тако да предлагача пошаље у смрт.

@mouchette: Čini mi se da je onda dobro ono rešenje sa 96 za kapetana. Pretpostavljam da si u žaru rešavanja preskočila onaj moj post sa istom logikom.

[mac]

Meni se ipak čini da mi je logika dobra. 98 zlatnika za kapetana, harg!

[Mouchette]

Za Midoto: Ali, B želi da dobije svojih 98, C svojih 99, D svojih 100, pa neće glasati da A ostane, znači A gine kako god predloži.
A E u zadnjem krugu ne dobija ništa, u predzadnjem, 1, itd, pa mu u prvom krugu mora ponuditi bar 3. Žao mi je kapetana, ali...

[Midoto]

Meni se ipak čini da mi je logika dobra. 98 zlatnika za kapetana, harg!

Na dasku!
Ako krenu od kraja, moraju da snize očekivanja. Pretposlednji shvata da - ako dođe do poslednja tri - on neće dobiti baš ništa...

[Mouchette]

Није, одговор је заправо прилично неочекиван (да не кажем суманут).

Još da se javi Harvi i potvrdi da je ovo moje rešenje dovoljno sumanuto za njegov ukus 

[Midoto]

Mouchette: ako je već pretposlednji odustao od svojih 100, zar ne bi prihvatio kapetanov predlog ako mu ovaj poveća dobitak za 1 zlatnik?